可謬主義②批判的可謬主義・数学的可謬主義
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可謬主義
批判的可謬主義
20世紀半ばになると、何人かの重要な哲学者が論理実証主義の基盤を批判するようになった。批判的可謬主義の創始者であるカール・ポパーは、その著作『科学的発見の論理』（1934年）において、検証可能性基準を切り下げる手段として、反証可能性を主張した。ポパーは、帰納法の問題を解決することを決意していた。つまり、科学的真理は経験から帰納的に推論されたり、単に実験によって検証されるのではなく、命題から演繹され、特定の科学共同体の中での熟慮と間主観的合意によって正当化されると断固として宣言したのである。また、ポパーは、境界の問題を解決するために、すべての知識は誤りを犯しうるが、反証によって得られた知識は例外であると主張した。これは反証が一時的に無謬であることを意味しており、適切な研究コミュニティによって撤回されるまで、論理的に矛盾したり、方法論的にどんな命題にも決定的に反論することができることを意味している。したがって、批判的可謬主義は、部分的に無謬主義を許容するものであり、ローカルな誤謬主義の一形態である。
ポパーは、検証・反証は論理的に非対称であると主張した。しかし、デュエム＝クワイン論文（グローバルな可謬主義的アプローチ）によれば、実証的な検証には一つ以上の補助的な仮定（仮説の束ともいう）が必要なので、決定的で曖昧さのない反証は不可能である。また、ある議論に反論する際に、科学者は必然的にその否定を検証することになるので、非対称性は錯覚であるという反論もある。このように、検証・反証は完全に対称的である。また、デュエム＝クワイン論文には、過小決定と過大決定の区別がある。過小決定とは、その時々に入手できる証拠が不十分である可能性があるという考え方である。これに対して、過大決定は、証拠の根底には複数の原因があるが、どの原因も単独ですでに三段論法として十分である場合に起こる。過小決定と過大決定の両方が可謬主義の信憑性に寄与している。
さらに、哲学者のクワインは、特に分析的命題と総合的命題の区別を攻撃するために、可謬主義を採用している。イギリスの哲学者スーザン・ハークは、クワインに続いて、人々は誤る可能性のある命題と誤る可能性のあるエージェントを混同する傾向があるため、可謬性の本質がしばしば誤解されると主張している。彼女は、論理学は修正可能であり、分析性は存在せず、必然性（あるいは優先性）は論理的真理には達しないと主張する。彼女はここに、論理学の命題は無謬であり、エージェントは可謬的である確信に反対している。批判的合理主義者のハンス・アルバートは、論理学に限らず、数学においても、いかなる真理も確実に証明することは不可能であると主張する。
数学的可謬主義
哲学者のイムレ・ラカトシュは『証明と反駁：数学的発見の論理』（1976年）で、ポパーの批判的反証主義の枠組みに数学的証明を組み込んだ。ラカトシュの数学的反証主義とは、すべての数学的定理は反証可能であるという一般的な見解である。数学的反証主義は、ヘーゲル、パース、ポパーといった哲学者が抱いてきた伝統的な見解から逸脱している。パースはグローバルな反証主義を導入したが、彼は我々が数学的信念を誤る可能性を排除しているように見える。数学的可謬主義は、たとえ数学的推測が真であると証明できなくても、あるものは真理の良い近似値あるいは推定値であると考えることを支持しているようである。この真実性と呼ばれるものは、数学に内在する不完全性の中で、私たちに一貫性を与えてくれるかもしれない。数学的可謬主義は準経験主義と異なり、前者は無限論を含まないため、集合論と並んでより適切なものとなっている。
数学の哲学では、可謬主義の中心的な信条は決定不能性（これは、外観と判断のアンチテーゼであるイソステネイアの概念［訳注：矛盾する議論の同等性］に似ている）である。現在、「決定不能」という言葉には、2つのタイプがある。ひとつは、ある文は、特定の演繹体系において証明も反論もできないという連続体仮説である。連続体仮説は、1873年に数学者ゲオルク・カントールによって提唱された。この種の決定不能性は、連続体仮説の独立性という文脈で用いられる。すなわち、この文は、ツェルメロ＝フレンケル集合論と選択公理を組み合わせた公理（ZFCともいう）からは独立だと言われているからである。この仮説とその否定は、いずれもこれらの公理と矛盾しない。連続体仮説の成立に先立ち、多くの注目すべき発見があった。1877年、カントールは2つの有限集合を一対一対応させて、そのカーディナリティ（訳注：集合の要素の数の尺度、集合Aが3つの要素を含む場合、Aのカーディナリティは3になる）が等しいことを証明する対角線論法を導入した。対角線論法は、1891年のカントールの定理で、任意の可算集合の冪集合が厳密に高いカーディナリティを持たなければならないことを示すために再登場した。累乗集合の存在は累乗集合の公理で仮定されており、ツェルメロ・フレンケル集合論の重要な部分である。また、1899年にカントールのパラドックスが発見された。これは、「すべてのカーディナリティを持つ集合は存在しない」というものである。その2年後、バートランド・ラッセルは、どの集合も自分自身を要素（メンバー）として含むことはできないというラッセルのパラドックスを指摘し、普遍集合の存在を無効とする。普遍集合は、分離の公理と規則性の公理のどちらかを利用することで反証することができる。普遍集合とは対照的に、冪集合はそれ自身を含むことはない。数学者クルト・ゲーデルが対角補題などを用いて連続体仮説に反駁できないことを示したのは1940年以降、同じく数学者ポール・コーエンが強制の方法によって連続体仮説が証明できないことを示したのは1963年以降であった。決定不可能であるにもかかわらず、ゲーデルもコーエンも連続体仮説が誤りであることを疑っていた。この疑心暗鬼は、ZFCの無矛盾性への確信と相まって、数学的反証主義に通じるものがある。数学的可謬主義は、新しい公理、例えば射影決定性の公理がZFCを改善するかもしれないが、これらの公理は連続体仮説の依存性を認めないと仮定している。
第二のタイプの決定不能性は計算可能性理論（または再帰性理論）に関連して用いられ、文だけでなく、特に決定問題、決定可能性に関する数学的な問題に適用される。決定不能問題とは、計算問題の一種で、数え切れないほどの無限個の質問があり、それぞれが出力が「はい」か「いいえ」か（あるいは文が「真」か「偽」か）を決定する有効な方法を必要とするが、常に正しい答えを出すコンピュータプログラムまたはチューリング機械が存在し得ない問題である。どんなプログラムでも、時には間違った答えを出したり、答えを出さずに永遠に走り続けたりする。決定不能問題の有名な例として、停止性問題や決定問題（Entscheidungsproblem）がある。従来、決定不能問題は再帰集合から導かれ、決定不能言語で定式化され、チューリング次数（訳注：集合のアルゴリズム的複雑さ、非可解性の度合いを表す）によって測定される。実際、すべての決定不能問題は未解決であるが、すべての未解決問題が決定不能であるとは限らない。計算機科学や数理論理学に関する決定不能性は、解決不可能性unsolvability、あるいは計算不可能non-computabilityとも呼ばれる。結局、どちらの種類の決定不能性も、こうした基本的な思考実験を提供することで、可謬主義を論証するのに役立つのである。
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